Androidにこの「Desktop Notifications」を、PC版Chromeブラウザーには拡張機能の「Desktop Notifications for Android」を追加。そしてそれぞれをペアリングさせるのにGoogleアカウントを使います。
また、ここではChromeでの説明をしますが、Firefoxでも拡張機能の追加で使えるようになります。
PC版Chromeブラウザーのセットアップ
まず最初にChrome側の準備をしておくとわかりやすいと思います。
Chromeウェブストアで拡張機能の「Desktop Notifications for Android」をChromeに追加します。

「Desktop Notifications for Android」
拡張機能の追加完了後、吹き出しアイコンをクリックしてGoogleアカウントでペアリングの準備をします。この時、Chromeのツールバー上部に表示されているユーザーのアカウントになるようです。(下の画像では「M」となっている部分がユーザー名で、ここには皆さんの名前が表示されているはずです。)

アカウントまでのセットアップが完了すれば、Chrome側での準備はこれで終わりです。細かい設定はいつでも変更ができるので、とりあえずこのままでAndroidのセットアップに移っても構いません。

Hide notification popups after... | ポップアップ通知の表示時間 |
Enable sound | 効果音 |
Enable speech output (experimental) | 音声読み上げ |
Show number of notifications on the icon | ツールバー上のアイコンに通知数を表示 |
下部に通知中の情報が表示されます。また、最上部の「Desktop Notifications for Android」内でサインアウトができます。 |
Androidのセットアップ
Androidに「Desktop Notifications」をインストールし、アプリ内で2つの設定を済ませます。

Notification Access | このアプリが通知を読み取ることを許可する設定です。端末の設定が開くので、このアプリを選択して有効にします。 |
Sign In | ペアリングに使用するGoogleアカウント。Chrome側と同じGoogleアカウントにします。 |
アカウントまでのセットアップを済ませると通知の準備は完了しています。
(Android側に表示されたコードは場合によってペアリングに使用するようです)
下部にあるテストボタンでChrome上にテスト通知が表示されるのを確認します。

パソコンの画面右下にこのようなテスト通知が表示されれば成功です。
これでパソコン上でも通知を確認することができるようになりましたが、このままではChromeを起動していないと表示されないという問題があります。
そこで、起動していなくても通知させたいといった場合は、Chromeのメニューから「設定」→「詳細設定を表示」と進み、「システム」にある「Google Chromeを閉じた際にバックグラウンドアプリの処理を続行する」を有効にすることで、いつでも通知させることができます。
また、Chrome側で通知を削除すればAndroid側でも削除されるので、その都度Androidで削除する手間が省ける他、Androidアプリ側でChromeに通知させないアプリを設定すれば、不要な通知を無くすことができるなど、工夫次第で便利に使うことができると思います。